Eerder verschenen in Nieuwsbrief VERON Afdeling Leiden A28 zomer 2023.

In mijn leven heb ik veel te maken gehad met transfer matrices, een wiskundige manier om netwerken te analyseren. De eerste keer was toen ik vanuit mijn technische opleiding, de (particuliere) HTS voor Electronica te Amsterdam, stage mocht lopen bij de Technische Hogeschool in Delft. Daar maakte ik kennis met impedantienetwerken, de Z-matrices. De vraag was of ze ook voor analyse in het tijdsdomein gebruikt konden worden. Het antwoord was overigens: ja, dat kan maar het gaat moeizaam. Daarna volgden nog veel toepassingen, zoals de Jones-matrix waarmee de polarisatie in een optische trein berekend kan worden.

S-matrix

Dat ik na mijn pensionering nog een keer met transfer-matrices te maken zou krijgen had ik niet vermoed. Het gebeurde toen ik kennis maakte met de nanoVNA, dat leuke apparaatje dat je kan gebruiken om antennes af te stemmen. Of om kleine netwerkjes, zoals het EMI-filter laatste keer, te analyseren. In de bijbehorende beschrijvingen wordt veel gepraat over S-parameters. Als je wat verder zoekt blijken dat gewoon de elementen van de S-matrix te zijn. De S-matrix is eenvoudig om te zetten naar een transfer matrix, de T-matrix, die men gebruikt voor met name bij de analyse van rf-netwerken. Met andere woorden, als je een keten maakt van rf-netwerkjes en je kent de afzonderlijke T-matrices dan kun je de T-matrix en daarmee de S-parameters van de hele keten berekenen. Leuk om te weten, maar wat moeten we daar nu mee?

Het enige dat echt van belang is te weten, is dat – in tegenstelling tot andere impedantie-representaties –  de S-matrix gaat over de energie die bij elke poort in- en uitgaat. Dat is precies wat die S-parameters uitermate geschikt maakt voor gebruik in rf-netwerken waar we veel te maken hebben met reflectie. In het volgende zal aan de hand van een aantal veel voorkomende voorbeelden de werking van die S-parameters uit worden gelegd.

1-poort

Laten we om te beginnen maar eens kijken naar wat men een 1-poort noemt, zie figuur 1. Die 1-poort stelt bijvoorbeeld een antenne voor of een dummy load. Die sluiten we aan op een bron, bijvoorbeeld een zender op een bepaalde frequentie. Die bron levert een rf-spanning u_0 via een inwendige impedantie Z_0. De belasting gevormd door de 1-poort geven we aan met een impedantie Z_1. Wat ons hieraan interesseert is: wanneer wordt het maximale vermogen door de bron afgestaan aan de belasting. Dat lijkt erg op een sommetje dat je tegen kan komen bij de voorbereiding op het examen voor de F-licentie. Je kunt het antwoord helemaal berekenen; voor de geïnteresseerden doe ik dat graag voor.

Maar elke ervaren radio-zendamateur weet het antwoord zo ook wel: De impedanties moeten op elkaar zijn aangepast en wel zodanig, dat R_1, het reële deel van de belasting-impedantie, gelijk is aan de bronweerstand R_0 en dat de som van de reactanties, X_0+X_1=0. Om de netto reactantie te nullen gebruiken we in de praktijk een antenne tuner. In figuur 2 staat ook een grafiek van het afgestane vermogen als functie van de verhouding R_1/R_0. Het maximum vermogen dat de bron aan de 1-poort kan afstaan is gelijk aan u_0^2/(4R_0), het gevolg van het feit dat over elke weerstand dan de halve spanning staat.

Dat maximale vermogen beschouwen we vanaf nu als de ingaande component, aan te geven met de bijbehorende spanning u_1^{(+)}, die aan de 1-poort wordt aangeboden. Als nu de belasting niet is aangepast aan de bron, dan is het aan de 1-poort afgestane vermogen niet maximaal. Er gaat dan meer de 1-poort in dan dat er gedissipeerd wordt. Het verschil tussen die twee is het vermogen dat door de 1-poort wordt gereflecteerd. Het verband tussen het gereflecteerde vermogen en het ingaande vermogen kennen we als de reflectiecoëfficiënt \Gamma, dus u_1^{(-)}=\Gamma u_1^{(+)}. Er is maar één S-parameter die bij de 1-poort hoort en die is zo gedefinieerd dat die eigenlijk gewoon gelijk is aan de reflectiecoëfficiënt, dus S_{11}=\Gamma. Met de reflectiecoëfficiënt bereken je zonder problemen de staande-golf-verhouding (VSWR). Dat is wat die nanoVNA, die immers die S-parameter meet, zo nuttig maakt voor radiozendamateurs.

Van de S-parameter voor een 1-poort is vaak alleen maar de absolute waarde interessant. Die gebruik je dan ook voor het bereken van de staande-golf-verhouding. Er is natuurlijk ook een fase maar daar heb ik tot nu toe eigenlijk geen nuttige toepassing voor zendamateurs van gezien.

2-poorten

De 2-poort kent vier parameters, een voor de ingangscoëfficient S_{11} en een voor de uitgangscoëfficiënt S_{22}. De andere twee, S_{12} en S_{22}, beschrijven de koppeling tussen in- en uitgang. Over de ingangscoëfficiënt hebben we het al hierboven gehad. De uitgangscoëfficiënt gaat precies op dezelfde manier. Voor de koppeling tussen uit- en ingang nemen we alleen S_{21} in beschouwing, want die wordt alleen maar gemeten door een nanoVNA. Voor het meten van S_{12} en S_{22} kun je in het geval van passieve netwerken in- en uitgang omwisselen. Voor actieve systemen, zoals een lineaire versterker, gaat dat niet.

De koppeling tussen uitgang en ingang van een 2-poort, zie figuur 3, wordt beschreven door S_{21}=u_2^{(-)}/u_1^{(+)}. Gewoon, wat er uit komt gedeeld door wat er in gaat dus. Maar het ziet er toch ingewikkeld uit, want zowel voor ingang als voor uitgang zijn er ingaande en gereflecteerde signalen. Maar er is redding: wat men meestal niet bij bovenstaande formule schrijft, is dat bij de uitgang geen reflectie mag zijn, dus u_2^{(+)}=0. Voor de praktische meting betekent dat, dat het nodig is om met de correcte weerstand af te sluiten. Datzelfde geldt overigens bij een meting van S_{11}: daarbij moet formeel de uitgang ook correct worden afgesloten. In de praktijk is dat vaak niet nodig.

In figuur 3 zouden we in de 2-poort een versterker (linear) met versterking G kunnen denken. Om reflecties te voorkomen, moet de uitgangsimpedantie Z_0 van de versterker passen aan de belasting Z_2. Voor beiden kiest men dan ook vaak R_0, de bronweerstand van meestal 50 ohm. Een eenvoudig sommetje leert dan dat S_{21}=G, gewoon de versterking van deze actieve 2-poort (ook dat sommetje doe ik graag voor).

Experimenten hiermee zijn niet eenvoudig, want de uitgangsspanning van een versterker wordt te hoog voor een nanoVNA. Wat je wel kan doen is de versterker-uitgang aansluiten op een goede verzwakker die het vermogen van de versterker aan kan. Omslachtig, maar te doen.

Een asymmetrisch pi-filter

Sinds ik onderzoek heb gedaan aan storingsfilters voor zonnepanelen, zoek ik naar een goede manier om ze te ontwerpen. Dat moeten symmetrische filters zijn met centrale aarde. Echter, de meeste informatie is beschikbaar over asymmetrische filters. Maar daar kunnen we wel al mooi een demonstratie mee doen, kijk daarom eerst eens naar figuur 4. Voor zo’n netwerk kun je de webstek van RFTools goed gebruiken.

Voor de in figuur 4 voorkomende componenten krijgen we de waarden C_{1,2} = 3,3 nF en L = 10 mH als we de volgende instellingen kiezen: 3^de orde Chebyshev laagdoorlaatfilter op 1 MHz met 0.1 dB doorlaatband rimpel. Het aardige van de webstek is ook nog een S2P-bestand levert dat je direct weer op je nanoVNA kunt weergeven. Of nog beter, gewoon aan een tekenprogramma als GNUPlot toevoeren om een mooi plaatje als in figuur 5 te tekenen. En, net zoals bij een versterker, is de parameter  de overdrachtsfunctie van het filter.

De experimentele meetpunten in figuur 5 (cirkels) geven een realisatie met standaard componenten, condensatoren 10% tolerantie en spoel 20%. De afwijkingen die ik met mijn LC-meter mat geven dan ook forse afwijkingen van zeker 10% te zien. Het kan zeker beter maar hiermee kan ik wel laten zien dat RFTools zeker goede ontwerpmogelijkheden biedt.

Ik was overigens beslist niet de enige die worstelde met de vraag naar een symmetrisch filter. Ruim 10 jaar geleden schreef ene Joe Sugar er een blog over. Daarmee was voor mij ook de andere vraag beantwoord: hoe breng je aarding (Protective Earth, PE) aan. Die vraag betreft zowel 1-fase als bij 3-fase systemen. Wat is het idee: het netwerk in figuur 4 kun je spiegelen om de horizontale as. Het doorsnijden van de twee condensators kan je voor elkaar krijgen door er twee van de dubbele waarde in serie te zetten. De middellijn is dan de aarding.

Dat is de theorie, maar de praktijk vereist ook nog dat er een stevige gelijkstroom door de spoel moet kunnen en dat er hogere spanningen over de condensatoren kunnen staan. Dat moet ik nog allemaal uitzoeken, dus dat komt een andere keer wellicht.

Conclusie

Aan de hand van twee eenvoudige voorbeelden heb ik laten zien hoe je de S-parameters zoals ze in een nanoVNA gebruikt worden kunt gebruiken. Voor wie er prijs op stelt kan ik wel een keer een korte demonstratie verzorgen, een hands-on workshop. Ook de sommetjes doe ik graag voor. Laat maar horen als je belangstelling hebt!