Eerder verschenen in de Electron van augustus 2024.

Tijdens mijn opleiding aan de HTS voor Elektronica in Amsterdam maakte ik voor het eerst kennis met een rekenliniaal, zie figuur 1. Bij veel van de berekeningen die je kan doen met zo’n rekenliniaal, bijvoorbeeld het vermenigvuldigen of delen van twee getallen, komt het er op neer dat je getallen moet opbreken in mantisse (getal tussen de 1 en de 10) en macht van 10 (geheel getal), dus bijvoorbeeld voor een condensator van 390 pF schrijf je dan als 3,9 x 10^-10 F. Met de rekenliniaal kan je dan bijvoorbeeld van de mantissen het product bepalen en dan moet je de macht van 10 uit het hoofd of op papier doen.

Het vereist best vaardigheid om met de rekenliniaal grote precisie te halen. Die heb ik nooit gekregen en na verloop van tijd heb ik de liniaal aan de kant gelegd. Uit het hoofd of op een kladblaadje zijn die berekeningen ook gewoon te doen met bovengenoemde methode. Althans, ik berekende (net als in feite de rekenliniaal) een benadering. Ik leerde al snel wat waarden van logaritmen[1] kennen, bijvoorbeeld log(2) ≈ 0,3, log(3) ≈ log(π) ≈ 0,5. Als je die kent kun je veel andere waarden ook omdat ze kwadraat of product van 2 en 3 zijn. Zo is log(4) = 2 log(2) ≈ 0,6 of log(6) = log(2) + log(3) ≈ 0,7 en log(8) = 3log(2) ≈ 0,9. Volgens die redenering is log(9) = 2log(3) ≈ 1 en dat klopt ook wel, de werkelijke waarde is immers iets meer dan 0,95.

Laten we nu eens een voorbeeld doen. De hierboven genoemde condensator wordt gebruikt om van een onbekende spoel de zelfinductie te meten. We maken een seriekring en sluiten die aan op een nanoVNA. We meten 1  MHz als resonantiefrequentie. We gebruiken nu de formule

\begin{equation}\small  L=\frac{1}{(2\pi f)^2 C}  \end{equation}

Je berekent dat als

 \small log⁡(L)=-{2(log⁡(2)+log⁡(π)+6)+log⁡(3.9)-10}=-5+0.8

Waarmee L ≈ 70 mH wordt want de mantisse ligt tussen log(6) en log(8). De berekende waarde geeft 65 mH dus deze methode is best nauwkeurig. Ik ben er nog steeds redelijk vaardig in en dus deed ik het examen voor mijn zenddiploma (F) ook met deze methode: de benadering is goed genoeg om de meeste antwoorden in een keer te vinden.

Wat ik ook al snel leerde is hoe om te gaan met het aantal cijfers dat nodig is voor de mantisse. Heeft de condensatorwaarde in bovenstaande berekening een tolerantie van 10%, dan wordt het resultaat – de waarde van de zelfinductie van de spoel – ook niet nauwkeuriger. In veel gevallen voldoet het om mantissen met één cijfer nauwkeurig te gebruiken.

Rekenmachines

Na een paar jaar studie mocht ik stage lopen. De eerste stageplek was bij het Laboratorium voor Vermogenselektronica aan de TU-Delft. Daar mocht ik “spelen” met een loeigrote rekenmachine met een uitgebreid toetsenbord, ik meen de HP9100B (zie figuur 2). Het invoeren van een berekening gaat lineair, dus bovenstaande berekening is dan in te toetsen als

            1 / (  ( 2 * pi * 10^ 6 ) ^ 2 * 390 10^ – 10

Eventueel gevolgd door “EXE”. Voor modernere rekenmachines zou dat goed gaan, maar niet voor die eerste die ik mocht gebruiken. Die werkte met Reverse Polish Notation (RPN), waarbij je een van vermenigvuldiging a x b eerst de twee operanden a en b intikt en vervolgens de bewerking x. De reden is eenvoudig: de rekenmachine werkt met een rij opvolgende geheugencellen, de stapel. Door eerst de operanden en vervolgens de bewerking “op stapel” te zetten kunnen complexe berekeningen eenvoudigweg worden uitgevoerd door de stapel af te werken. Zodra de rekeneenheid een bewerking, bijvoorbeeld vermenigvuldiging, tegenkomt haalt het twee getallen van de stapel, berekent het resultaat en zet dat vervolgens terug. Een groot voordeel van die bewerkingsmethode is dat haakjes weggelaten worden wat leidt tot minder instructies en dus minder kans op fouten. Moderne rekenmachines gebruiken die rekenmethode na een vertaalslag die de ingetikte rij symbolen om zet in RPN of een andere vorm die voor de rekeneenheid bruikbaar is.

De FX82nl

De wetenschappelijke rekenmachine is nu al zo lang in zwang dat iedere zendamateur er zonder problemen mee om kan gaan. En als je geen rekenmachine bij de hand hebt vraag je het google, die snapt dezelfde lineaire formule. Toch meenden wiskundedocenten dat het maar eens afgelopen moest zijn met dat omzetten van een formule uit hun lesboeken naar een lineaire vorm. Dat konden veel scholieren niet aan en dus moest er maar een rekenmachine komen die met dezelfde formules kon werken als in het wiskundeboek; dat werd de FX82nl van Casio.

Mensen die studeerden voor het N- of F-examen schrokken zich vervolgens een hoedje, want het CBR vond dat die machine ook maar gebruikt moest worden door de kandidaten voor de examens. Menigeen vroeg zich vertwijfeld af: hoe werkte dat ding nou? Het antwoord is eigenlijk: best eenvoudig als je maar bereid bent om goed op wat er in het scherm gebeurt te letten terwijl je de toetsen indrukt. Bovenstaande berekening, vergelijking (1), moet je dan intikken met de toetsensequentie als in figuur 3. In het scherm ontstaat uiteindelijk de formule van vergelijking (1) met natuurlijk de getallen ingevoerd en het antwoord er achter. Eigenlijk is het handiger zo, want je ziet snel wanneer je wat verkeerd hebt ingetikt.

Ook kan je snel iets veranderen, bijvoorbeeld de waarde van de condensator van 390 pF naar 470 pF. In figuur 4 een afbeelding van de FX82nl met in het scherm (een deel van) de formule en het antwoord, waarbij voor de weergave van het resultaat de wetenschappelijke notatie met 3 significante cijfers is gekozen. Voor diegenen die er mee vertrouwd zijn, de formule-editor van MS-Word gebruikt vergelijkbare notatie om formules in te tikken. Net als de tekstverwerkers die rond het bij bèta-wetenschappers populaire tekstverwerkingspakket LaTeX zijn ontwikkeld. Die geven echter geen antwoord, dus daar heb je voor berekeningen niet veel aan.

Inmiddels gebruik ik de rekenmachine al een tijdje en na een korte gewenningsperiode voldoet hij prima. Aanvankelijk had ik de machine gekocht om vragen van cursisten, maar ook via het VERON-techniekforum, te kunnen beantwoorden. Net als in elke rekenmachine zitten er nog veel meer mogelijkheden in dan ik tot nu toe gebruikt heb. Als het zover is zal ik ook de handleiding van het machientje weer in moeten duiken. Het is lastig om die handleiding als doorzoekbare pdf te vinden, daarom maken we hem hier ook beschikbaar via deze link. Heeft u hulp nodig met de rekenmachine, dan kan ik misschien wel helpen. Het liefst via het techniekforum, dan kunnen anderen meedenken dan wel profiteren. Als het echt haast heeft kan het ook naar pa2kop@veron.nl . Voor diegenen die zich voorbereiden op het examen: veel succes!

Met dank aan Hans PE1AAY en Arjen PD1JAB voor het proeflezen van dit stukje.

[1] In dit artikel worden alleen logaritmen met grondtal 10 gebruikt.